moderan nacin

Language:

  IZBORNIK

početna stranica

teorija

primjeri
kviz
linkovi
literatura
kontakt

     MODERAN NAčIN ODLUčIVANJA O SUKLADNOSTI
                                 VELIčINE SA SPECIFIKACIJOM

     -općeniti primjer kada mjerni rezultat zadovoljava specifikaciju

     -općeniti primjer kada mjerni rezultat ne zadovoljava specifikaciju

     -općeniti primjer neodređenog slučaja

     -normalna ili Gaussova razdioba

     -sveobuhvatno pravilo odlučivanja

     -postupak modernog načina odlučivanja

     -proširena mjerna nesigurnost

Razmatrat ćemo primjer kada proizvođač garantira da je M<K, i to za slučajeve kada mjerni rezultat zadovoljava specifikaciju, kada mjerni rezultat ne zadovoljava specifikaciju i kada cjelovit mjerni rezultat obuhvaća kritičnu vrijednost K.

1) Mjerni rezultat zadovoljava uvjet da je M<K, dakle zadovoljava specifikaciju kad je cjelovit mjerni rezultat manji od kritične vrijednosti (slika 4a):

Slika 4a. Cjelovit mjerni rezultat je manji od kritične vrijednosti {K}

2) Mjerni rezultat ne zadovoljava uvjet da je M<K, dakle ne zadovoljava specifikaciju kad je cjelovit mjerni rezultat veći od kritične vrijednosti (slika 4b):

Slika 4b. Cjelovit mjerni rezultat je veći od kritične vrijednosti {K}

U ova dva slučaja izmjerena je vrijednost dovoljno daleko od kritične vrijednosti da se može pouzdano tvrditi da mjerna veličina zadovoljava ili ne zadovoljava specifikaciju. Međutim, postoje slučajevi kada je izmjerena vrijednost u blizini kritične vrijednosti. To su tzv. neodređeni slučajevi.

     3) Cjelovit mjerni rezultat obuhvaća kritičnu vrijednost. To je neodređen slučaj, jer se na                        temelju mjernog rezultata ne može pouzdano tvrditi da veličina zadovoljava niti da ne                         zadovoljava specifikaciju.

     Postoje dvije mogućnosti:

     a) Izmjerena je vrijednost manja od kritične vrijednosti (slika 5a):

Slika 5a. Cjelovit mjerni rezultat obuhvaća kritičnu vrijednost {K}, pri čemu je izmjerena vrijednost {M} manja od kritične vrijednosti {K}

Iako je izmjerena vrijednost mjerne veličine {M} manja od kritične vrijednosti {K}, postoji određena vjerojatnost da je prava vrijednost veličine veća od nje. Tu vjerojatnost nazivamo rizikom kupca. Rizik preuzimanja proizvoda koji u stvari ne zadovoljava specifikaciju je to veći što je izmjerena vrijednost bliže kritičnoj vrijednosti, a mjerna nesigurnost veća.

b) Izmjerena je vrijednost veća od kritične vrijednosti (slika 5b):

Slika 5b. Cjelovit mjerni rezultat obuhvaća kritičnu vrijednost {K}, pri čemu je izmjerena vrijednost {M} veca od kritične vrijednosti {K}

Sada, zbog mjerne nesigurnosti, postoji mogućnost da je prava vrijednost veličine manja od ugovorene granične vrijednosti iako je izmjerena vrijednost veća od nje. Postoji dakle određena vjerojatnost da se proizvod, koji u stvari zadovoljava specifikaciju, ne preuzme (odbije ili vrati). Zato tu vjerojatnost nazivamo rizikom proizvođača.

Ponekad se ugovori da vrijednost veličine mora biti manja ili jednaka kritičnoj vrijednosti (MK). U tom slučaju veličina zadovoljava specifikaciju i onda kad je gornja granica cjelovitog mjernog rezultata jednaka kritičnoj vrijednosti (slika 10).

Slika 10. Cjelovit mjerni rezultat se dotiče kritične vrijednosti {K}, te je zadovoljen kriterij MK

Ako se ugovori da vrijednost veličine mora biti veća ili jednaka kritičnoj vrijednosti (MK), veličina zadovoljava i u slučaju prikazanom slikom 11, kada cjelovit mjerni rezultat obuhvaća svojom donjom graničnom vrijednošću kritičnu vrijednost.

Slika 11. Cjelovit mjerni rezultat se dotiče kritične vrijednosti {K}, te je zadovoljen kriterij MK

NORMALNA (GAUSSOVA) RAZDIOBA

Slučajevi, kada cjelovit mjerni rezultat u svom rasponu vrijednosti sadrži kritičnu vrijednost, su slučajevi neodređenosti, pa za donošenje odluke koristimo matematičku statistiku koja omogućuje donošenje razboritih, objektivnih i mjerljivih odluka.
Odluka je razborita kada zaključujemo da dogadaj vrlo male vjerojatnosti nije rezultat slučaja, nego nekog uzroka. Odluku smatramo objektivnom kada ona, na temelju istih podataka, ne ovisi o osobi koja odluku donosi. Odluka je mjerljiva kada se može procijeniti rizik, tj. vjerojatnost pogrešne odluke. Taj se rizik procjenjuje na temelju sljedećeg razmatranja.

Praksom je potvrđeno da se rasipanje opetovanih izmjerenih vrijednosti oko prave vrijednosti najčešće može aproksimirati Gaussovom ili normalnom razdiobom (slika 6).

Slika 6. Normalna razdioba

Normalna (Gaussova) razdioba je najvažnija i najupotrebljavanija razdioba u teoriji i primjeni matematičke statistike. To je zvonolika, simetrična, jednotjemena funkcija kontinuirane slučajne varijable x, koja je jednoznačno određena s dva parametra, a to su aritmetička sredinai standardna devijacija , . Površina ispod te funkcije (funkcije gustoće vjerojatnosti) i apscise, tj. integral funkcije od minus beskonačno do plus beskonačno, jednaka je 1, što znači da je vjerojatnost da slučajna varijabla (pri mjerenjima je to očitanje ili opažanje) poprimi neku vrijednost izmedu minus beskonačno i plus beskonačno, siguran događaj. Lokacija tjemena funkcije normalne razdiobe određena je aritmetičkom sredinom, a širina rasprostiranja je određena standardnom devijacijom . Ako varijablu x transformiramo u tzv. normiranu (omjernu) varijablu z:

(1)

sve normalne razdiobe se mogu prikazati jednom jedinom, koja se zove normirana normalna razdioba, N(0,1) (slika 7). Aritmetička sredina normirane normalne razdiobe jednaka je nuli (=0), a standardna devijacija je jednaka jedinici (= 1), pa vrijednost funkcije gustoće vjerojatnosti ovisi samo o normiranoj varijabli z [1].

Slika 7. Normirana normalna razdioba N(0,1)

Q/2 je vjerojatnost da je omjerna varijabla z veća od neke pozitivne vrijednosti (npr. +2), ili manja od neke negativne vrijednosti (npr. -2). Dakle ukupna vjerojatnost da se z nalazi izvan područja od -2 do +2 jeste Q (vidjeti tablicu 1). Vjerojatnost Q/2 se u statistici označava kaoi naziva p-vrijednost jednostranog testa na razini statističke značajnosti. Najčešće se koristi interval od -2 do 2 iz razloga što se u praksi traži pouzdanost na razini 95%-tne vjerojatnosti. Dakle, Q je vjerojatnost da se rezultat nalazi izvan intervala pouzdanosti. Q/2 je vjerojatnost da je z veće od neke pozitivne vrijednosti, ili manje od neke negativne vrijednosti (kada nas interesira samo jedna strana normalne razdiobe).

Transformacijom varijable x u omjernu varijablu z razlika izmedu izmjerene vrijednosti {M} i prave vrijednosti {} mjeri se brojem standardnih devijacija.
Kako pravu vrijednost ne znamo, a poznata nam je izmjerena vrijednost, u daljnjem razmatranju polazit ćemo od izmjerene vrijednosti, tj. razmatrat ćemo razlike izmedu mogućih pravih vrijednosti i izmjerene vrijednosti. Pri tome razdioba razlika normiranih standardnom devijacijom ostaje nepromijenjena (normirana normalna razdioba), jer je simetrična: f(z)=f(-z).

U Tablici 1. su prikazane vjerojatnosti da se vrijednosti varijable z nalaze unutar odabranog raspona vrijednosti, (P), odnosno izvan njega, (Q).

Tablica 1. Vjerojatnost da normirana varijabla z ima vrijednosti unutar zadanog raspona, odnosno izvan njega

Primijenimo prikazano razmatranje na procjenu rizika pogrešne odluke. Da bismo procijenili vjerojatnost pogrešne odluke, potrebno je da razliku izmedu kritične vrijednosti i izmjerene vrijednosti (mjerni rezultat u užem smislu) normiramo, tj. podijelimo sa standardnom devijacijom, odnosno sa standardnom mjernom nesigurnošću:

(2)

Uz pretpostavku normalne razdiobe, vjerojatnost da je normirana razlika izmedu kritične vrijednosti {K} i izmjerene vrijednosti {M} veća od nekog odabranog z (ili manja od nekog odabranog -z) jednaka je:

. (3)

To je tzv. jednostrana p-vrijednost statističkog testa na razini statističke značajnosti .Što je z veći ({M} udaljeniji od {K}), manja je vjerojatnost da je npr. prava vrijednost veličine veća od kritične kada je izmjerena vrijednost manja od nje. A to u stvari znači da je manji rizik (vjerojatnost pogrešne odluke).

S pomoću tablice 1 možemo dakle odrediti rizik, tj. vjerojatnost pogrešne odluke da mjerna veličina nije sukladna zahtjevu, iako je izmjerena vrijednost zadovoljila tradicionalni kriterij.

Visina rizika se odabire prema težini posljedica pogrešne odluke, ali uvijek unaprijed, prije ispitivanja, te se mora unaprijed ugovoriti s poslovnim partnerom. U praksi je uobičajena primjena rizika (Q/2) od 0,05, odnosno 5 %. S odabirom rizika određujemo kritičnu z-vrijednost, koja za rizik od 5 % iznosi 1,64. Dakle, ako smo odabrali rizik od 5 %, onda da bismo na temelju mjernog rezultata mogli tvrditi da je mjerna veličina sukladna ugovorenom zahtjevu, z-vrijednost (2) mora biti veća od 1,64.

Sveobuhvatno pravilo odlučivanja

   Prema tome, ukoliko pri odlučivanju uzmemo u obzir mjernu nesigurnost, pravilo odlučivanja               postaje strože od klasičnog pravila odlučivanja, jer izmjerena vrijednost veličine mora biti manja          od granične vrijednosti za iznos koji ovisi o mjernoj nesigurnosti i odabranom riziku (vidjeti tablicu      1).

     Kad je vrijednost veličine M manja od kritične vrijednosti K i razlika podijeljena sa standardnom      mjernom nesigurnošću u manja od kritične z-vrijednosti, u slučaju da proizvođač garantira da je         M<K, ne može se na temelju mjernog rezultata tvrditi da veličina zadovoljava. Postoji dakle         područje neodređenosti, koje kod tradicionalnog načina odlučivanja ne postoji, ali smo zato vrlo          često nehotimično donosili pogrešne odluke. Da bi se izbjegle nesuglasice i nepotrebni troškovi,          poslovni partneri trebaju unaprijed dogovoriti način postupanja u slučaju neodređenosti.

     Slično, ako je izmjerena vrijednost veća od kritične, ali nedovoljno daleko od nje, ne može se           tvrditi da veličina ne zadovoljava, jer postoji vjerojatnost da je prava vrijednost veličine ipak manja      od kritične.

Na slikama 9a i 9b je skicirano sveobuhvatno pravilo odlučivanja kada se mjerna nesigurnost uzima u obzir.

Slika 9a. Sveobuhvatno pravilo odlučivanja kada se mjerna nesigurnost uzima u obzir za slučaj kada proizvođač garantira da je M<K (tradicionalno pravilo odlučivanja je specijalni slučaj sveobuhvatnog pravila odlučivanja - kad se pretpostavi da je mjerna nesigurnost jednaka nuli)

u -standardna mjerna nesigurnost
- kritična z-vrijednost koja se može odabrati iz tablice 1

   Na slici 9a vidimo tri područja u kojima se može naći mjerni rezultat:

     - područje gdje je vrijednost mjerene veličine dovoljno manja od kritične vrijednosti da se             može odlučiti da zadovoljava glede zadanog kriterija,

     - područje gdje je vrijednost mjerene veličine dovoljno veća od kritične vrijednosti da se može            odlučiti da ne zadovoljava glede zadanog kriterija,

     - područje neodređenosti kad se mjerni rezultat nalazi blizu kritične vrijednosti, te se ne može            odlučiti, s odabranim rizikom, da veličina zadovoljava ili ne zadovoljava.

     Širina područja neodređenosti ovisi o mjernoj nesigurnosti u i odabranom riziku (kritičnoj z-         vrijednosti,).
     Za određenu razinu rizika imamo određenu kritičnu z-vrijednost, pa širina područja                          neodređenosti ovisi samo o mjernoj nesigurnosti. Dakle, ako je mjerna nesigurnost ,      širina područja neodređenosti je veća nego kad je mjerna nesigurnost (pri čemu                 je ). Ovisno o vrijednosti mjerne nesigurnosti, tj. o širini područja neodređenosti,                   ista izmjerena vrijednost se može naći u području "zadovoljava" (), ili u području                     neodređenosti (). To znači da smanjenjem mjerne nesigurnosti možemo smanjiti širinu      područja neodređenosti i donijeti jednoznačnu odluku.

Kada proizvođač garantira da je M>K, područja "zadovoljava" i "ne zadovoljava" sa slike 9a zamjenjuju mjesta (slika 9b).

Slika 9b. Sveobuhvatno pravilo odlučivanja kada se mjerna nesigurnost uzima u obzir za slučaj kada proizvođač garantira da je M>K

Postupak za odlučivanje da li mjerena veličina zadovoljava specifikaciju, gdje unaprijed očekujemo da je mjerna veličina manja od kritične (ili veća od kritične), uz rizik od 5% je sljedeći:

   Ako je zahtjev da mjerna veličina treba biti manja od kritične, za jednoznačnu odluku je              potrebno da budu zadovoljena dva uvjeta. Prvi je da izmjerena vrijednost bude manja od kritične         vrijednosti, a drugi je da z mora biti veće od z kritično (za rizik od 5 % z kritično iznosi 1,64), pri      čemu z računamo prema izrazu (2). Ako je z manje od z kritično, onda zahtjev nije zadovoljen i      tada se može prema tablici 1 približno procijeniti pouzdanost, ili rizik, određene odluke.
     Ako je zahtjev da mjerna veličina treba biti veća od kritične, za jednoznačnu odluku je potrebno         da izmjerena vrijednost bude veća od kritične vrijednosti, a z mora biti manje od z kritično. Da bi        zahtjev bio zadovoljen z mora imati negativnu vrijednost, jer je u brojniku izraza (2) K-M, a uvjet je      M>K, te mora biti manji od z kritično, koje sada iznosi -1,64. Radi pojednostavljenja, treba                 računati s apsolutnim vrijednostima. Sada ćemo imati modul | K-M |, pa će prema izrazu (2) z                imati pozitivnu vrijednost. Pozitivnu vrijednost ce imati i z kritično, pa ce za rizik od 5 % vrijediti
     ||= 1,64. Tako će za jednoznačnu odluku biti potrebno da izmjerena vrijednost bude veća
     od kritične vrijednosti i | z | mora biti veće od ||= 1,64.

Proširena mjerna nesigurnost

U nekim se područjima tehnike koristi iskazivanje mjernog rezultata s proširenom mjernom nesigurnošću. Npr. u izvještajima o umjeravanju mjernih instrumenata (tzv. umjernicama) u pravilu se koristi faktor proširenja jednak 2 (zaokružena vrijednost od 1,96), ili u strojarstvu, pri mjerenju dimenzija i oblika, normirano je da se rabi faktor proširenja 2 [7]. U tim se slučajevima matematička statistika primjenjuje manje rigorozno, te se za odluke o sukladnosti ili nesukladnosti sa specifikacijom umjesto procjene rizika (računanja z vrijednosti) jednostavno provjerava da li je kritična vrijednost sadržana u cjelovitom mjernom rezultatu iskazanom s proširenom mjernom nesigurnošću, ili ne [7]. Ako nije, odluka je jednoznačna, a ako jeste na temelju tog mjernog rezultata jednoznačna se odluka na razini 95 %-tne vjerojatnosti ne može donijeti.

Da se podsjetimo. Cjelovit mjerni rezultat se općenito iskazuje ovako:

, (4)

pri čemu je U proširena mjerna nesigurnost jednaka umnošku standardne nesigurnosti s faktorom proširenja k:

. (5)

Vrijednost faktora proširenja određena je odabranom vjerojatnošću da raspon vrijednosti određen proširenom nesigurnošću obuhvaća (pravu) vrijednost mjerene veličine. Što je odabrana vjerojatnost veća, veći je i faktor proširenja. Njegova vrijednost obično iznosi 2 ili 3, što odgovara razini pouzdanosti od približno 95 %, odnosno od približno 99 %. Razina vjerojatnosti od npr. 95 % znači da je vjerojatnost jednaka 19:20 da ce (prava) vrijednost mjerene veličine biti unutar tog raspona, odnosno da je vjerojatnost jednaka 1:20 da će (prava) vrijednost mjerene veličine biti izvan raspona određenog odgovarajućom proširenom nesigurnošću [1].

Stoga se za razinu pouzdanosti od približno 95% uzima faktor proširenja 2, pa se može pisati:

. (6)